Question

【题目】如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=.

(1 )证明：；

（2）求二面角A——B的正切值.

Answer 1

【答案】解：方法一

（2）如图所示，作交于，连，由三垂线定理可得

∴为所求二面角的平面角，

在中，……8分

在中，

，…………10分

所以………………11分

即 二面角A——B的余弦值是。………………………12分

………………11分

所以 二面角所成角的余弦值是………………………12分

【解析】

试题（1）欲证AB⊥A1C，而A1C平面ACC1A1，可先证AB⊥平面ACC1A1，根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，可知AB⊥AA1，由正弦定理得AB⊥AC，满足线面垂直的判定定理所需条件；

（2）作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，则∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．

（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1，

在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，

∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，

∴AB⊥平面ACC1A1，

又A1C平面ACC1A1，

∴AB⊥A1C．

（2）解：如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，

由三垂线定理知BD⊥A1C，

∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．

在Rt△AA1C中，AD==，

在Rt△BAD中，tan∠ADB==，

∴cos∠ADB=，

即二面角A﹣A1C﹣B的大小为arccos．