Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数在处的切线方程；

（2）若函数在上为增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当时，求函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线在处的切线斜率，由点斜式可得结果；（2）函数在上为增函数，等价于对任意x,上恒成立，在上恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出的最小值，即可求的取值范围.

（1）当a＝1时， ，

∴f(1)＝－e－×12＋2×1＝－e，

又f ′(x)＝－ex－x＋2，

∴f ′(1)＝－e－1＋2＝1－e，

∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝(1－e)(x－1)，

即所求切线方程为：(1－e)x－y＋ =0 .

（2）∵函数在R上是增函数，

∴f ′(x)≥0在R上恒成立，

∴－aex－x＋2≥0在R上恒成立，即a≤在R上恒成立，

令g(x)＝，则g′(x)＝，

令g′(x)＝0，解得x＝3，

当x变化时，g(x)、g′(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，3)	3	(3，＋∞)
g′(x)	－	0	＋
g(x)	减		增

∴函数g(x)在x＝3处取得极小值，即g(x)min＝ ，

∴a≤，

∴实数a的取值范围是.