Question

(本小题满分16分)已知⊙和点.

（Ⅰ）过点向⊙引切线，求直线的方程；

（Ⅱ）求以点为圆心，且被直线截得的弦长4的⊙的方程；

（Ⅲ）设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）⊙的方程为（Ⅲ）可以找到这样的定点，使得为定值.

解析:

（Ⅰ）设切线方程为 ，易得，解得……3分

  ∴切线方程为 ………………………………………………………5分

（Ⅱ）圆心到直线的距离为                    …………………………7分

设圆的半径为，则   ………………………………………………9分

∴⊙的方程为  ………………………………………………… 10分

（Ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，

根据题意可得，∴…………………………12分

即   （*），

又点在圆上∴，即，代入（*）式得：

  ………………………………14分

若系数对应相等，则等式恒成立，∴，

解得，

∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；

点的坐标为时，比值为…………………………………………………………16分