Question

6．已知圆M：x²+（y-1）²=1，圆N：x²+（y+1）²=1，直线l₁、l₂分别过圆心M、N，且l₁与圆M相交于A、B，l₂与圆N相交于C、D，P是椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}$=1上的任意一动点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 如图所示，圆心M（0，1），N（0，-1）即为椭圆的焦点．$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$-1，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PN}}^{2}$-1，由于|PM|+|PN|=4，利用2（${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$）≥$（|\overrightarrow{PM}|+|\overrightarrow{PN}|）^{2}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
圆心M（0，1），N（0，-1）即为椭圆的焦点．
$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$+$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$-1，
$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PN}}^{2}$-1，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$-2，
∵|PM|+|PN|=4，
∴2（${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$）≥$（|\overrightarrow{PM}|+|\overrightarrow{PN}|）^{2}$=16，当且仅当|PM|=|PN|=2时取等号．
∴${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$≥8，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$-2≥6，
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质、向量的三角形法则、基本不等式的性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．