Question

11．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，M，N分别是AB，AC边上的点，AM=AN，D是BC的中点，AD与MN交于点E，将△ABD沿AD折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCD，其中BC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$． 

（1）证明：CD⊥平面ABD
（2）当AM=$\frac{2}{3}$时，求三棱锥D-MEN的体积V_D-MEN．

Answer 1

分析 （1）由$BD=DC=\frac{1}{2}$，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用勾股定理的逆定理可得CD⊥BD．利用AD⊥BD，AD⊥DC，可得AD⊥平面BCD，即可证明．
（2）由（1）可得：ED=$\frac{1}{3}$．由于EM∥BD，EN∥CD，可得△EMN∽△DBC，利用相似三角形的性质可得S_△EMN=$\frac{4}{9}$S_△DBC．三棱锥D-MEN的体积V_D-MEN=$\frac{1}{3}{S}_{EMN}$×ED，即可得出．

解答 （1）证明：∵$BD=DC=\frac{1}{2}$，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴BD²+DC²=BC²，∴CD⊥BD．
∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=D，
∴AD⊥平面BCD，
∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴CD⊥平面ABD．
（2）解：由（1）可得：ED=$\frac{1}{3}$．
∵EM∥BD，EN∥CD，
∴△EMN∽△DBC，
∴$\frac{{S}_{△EMN}}{{S}_{△DBC}}$=$（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，
∴S_△EMN=$\frac{4}{9}$S_△DBC=$\frac{4}{9}$×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{18}$．
∴三棱锥D-MEN的体积V_D-MEN=$\frac{1}{3}{S}_{EMN}$×ED
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{18}×\frac{1}{3}$
=$\frac{1}{162}$．

点评 本题考查了空间线面面面的位置关系、相似三角形的性质、平行线的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．