Question

6．设向量$\overrightarrow{e_1}$和$\overrightarrow{e_2}$不共线．
（1）如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{e_1}$+8$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{e_1}$-$\overrightarrow{e_2}$），求证：A、B、D三点共线；
（2）若|$\overrightarrow{e_1}$|=2，|$\overrightarrow{e_2}$|=3，$\overrightarrow{e_1}$和$\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°，试确定k，使$k\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$和$\overrightarrow{e_1}$+k$\overrightarrow{e_2}$垂直．

Answer 1

分析 （1）根据条件便可由$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$得出$\overrightarrow{AD}=6\overrightarrow{AB}$，这样即可得出A，B，D三点共线；
（2）根据向量垂直的充要条件便可由$k\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\overrightarrow{{e}_{1}}+k\overrightarrow{{e}_{2}}$垂直得出$（k\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}）•（\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}）=0$，进行向量数量积的运算即可得出3k²+13k+3=0，从而便可求出k的值．

解答 解：（1）证明：∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=6\overrightarrow{e_1}+6\overrightarrow{e_2}=6\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AD}∥\overrightarrow{AB}$；
又$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$有公共点A；
∴A，B，D三点共线．
（2）解：∵$（k\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}）•（\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}）=0$；
∴$k|\overrightarrow{e_1}{|^2}+（{k^2}+1）|\overrightarrow{e_1}||\overrightarrow{e_2}|cos{60°}+k|\overrightarrow{e_2}{|^2}=0$；
∴3k²+13k+3=0，
∴$k=\frac{-13±\sqrt{133}}{6}$．

点评 考查向量加法的几何意义，向量的数乘运算，以及通过向量证明三点共线的方法，向量数量积的运算，以及一元二次方程的求解公式．