Question

12．抛物线C₁：y²=2px（p＞0），圆C₂：（x-1）²+y²=1，抛物线C₁上只有顶点在圆C₂上，其他点均在圆C₂的外面．
（1）求p的取值范围；
（2）过抛物线C₁上一定点M（x₀，y₀）（y₀＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

分析 （1）设点D（x，y）为抛物线C₁上任意一点，则$|{D{C_1}}|=\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}-2（1-p）x+1}（x≥0）$，分类讨论求p的取值范围；
（2）求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率是非零常数．

解答 解：（1）由已知有C₁（1，0），设点D（x，y）为抛物线C₁上任意一点，则$|{D{C_1}}|=\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}-2（1-p）x+1}（x≥0）$
令f（x）=x²-2（1-p）x+1，x∈[0，+∞），即当且仅当x=0时，f（x）有最小值1，
若0＜p＜1，则当x=1-p取到最小值，令1-p=0，则p=1，矛盾；
若p≥1，则当x=0取到最小值1，符合要求，
综上p≥1
（2）设直线MA的斜率为k，直线MB的斜率为-k，k≠0，
直线MA的方程为y-y₀=k（x-x₀），将$x=\frac{y^2}{2p}$代入整理得到ky²-2py+2py₀-2pkx₀=0，
则${y_A}+{y_0}=\frac{2p}{k}$，那么${y_A}=\frac{2p}{k}-{y_0}$，
又y_A-y₀=k（x_A-x₀），整理得到${x_A}=\frac{2p}{k^2}-\frac{{2{y_0}}}{k}+{x_0}$，
将其中的k换成-k，得到${x_B}=\frac{2p}{k^2}+\frac{{2{y_0}}}{k}+{x_0}$，${y_B}=-\frac{2p}{k}-{y_0}$
那么直线AB的斜率${K_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-\frac{2p}{k}-{y_0}-（\frac{2p}{k}-{y_0}）}}{{\frac{2p}{k^2}+\frac{{2{y_0}}}{k}+{x_0}-（\frac{2p}{k^2}-\frac{{2{y_0}}}{k}+{x_0}）}}=-\frac{p}{y_0}$

点评 本题考查直线与抛物线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．