Question

8．正方体中，E，F，G分别是A′D′、B′C′、D′C′的中点．
（1）求直线BA′和CC′所成的角的大小；
（2）求直线EG和BD′所成的角的大小；
（3）证明：四边形ABFE为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由CC′∥BB′，得∠A′BB′是直线BA′和CC′所成的角，由此能求出直线BA′和CC′所成的角的大小．
（2）由已知得A′C′⊥平面BD′B′，EG∥A′C′，由此能求出直线EG和BD′所成的角的大小．
（3）由已知得EF$\underset{∥}{=}$AB，由此能证明四边形ABFE为平行四边形．

解答 （1）解：∵CC′∥BB′，
∴∠A′BB′是直线BA′和CC′所成的角，
∵A′B′=BB′，且A′B′⊥BB′，
∴∠A′BB′=$\frac{π}{4}$，
∴直线BA′和CC′所成的角的大小为$\frac{π}{4}$．
（2）解：∵A′C′⊥B′D′，A′C′⊥BB′，B′D′∩BB′=B′，
∴A′C′⊥平面BD′B′，
∵E，F，G分别是A′D′、B′C′、D′C′的中点，
∴EG∥A′C′，∴EG⊥平面BD′B′，
∵BD′?平面BD′B′，∴EG⊥BD′，
∴直线EG和BD′所成的角的大小为$\frac{π}{2}$．
（3）证明：∵E，F，G分别是A′D′、B′C′、D′C′的中点，
∴EF$\underset{∥}{=}$A′B′，
又AB$\underset{∥}{=}$A′B′，∴EF$\underset{∥}{=}$AB，
∴四边形ABFE为平行四边形．

点评 本题考查异面直线所成的角的大小的求法，考查四边形为平行四边形的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．