Question

某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次．生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元．现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：

测试指标	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100）
甲	3	7	20	30	25	15
乙	5	15	23	27	20	10

根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响．
（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；
（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X元（利润=盈利-亏损）．求随机变量X的频率分布和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件都是优等品，由此能求出高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为200，160，120，80，40，-40，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的频率分布和数学期望．

解答： 解：（1）甲生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为

4

10

，

5

10

，

1

10

，
乙生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为

3

10

，

5

10

，

2

10

，
高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：
恰有2件优等品或3件都是优等品，
∴高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率：
P=（

4

10

）³+

C

2 3

(

4

10

)2(

6

10

)=

44

125

．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为200，160，120，80，40，-40，
P（X=200）=

4

10

×

3

10

=

12

100

，
P（X=160）=

4

10

×

5

10

+

3

10

×

5

10

=

35

100

，
P（X=120）=

5

10

×

5

10

=

25

100

，
P（X=80）=

4

10

×

2

10

+

3

10

×

1

10

=

11

100

，
P（X=40）=

5

10

×

2

10

+

5

10

×

1

10

=

15

100

，
P（X=-40）=

1

10

×

2

10

=

2

100

，
∴X的分布列为：

X	200	160	120	80	40	-40
P	12 100	35 100	25 100	11 100	15 100	2 100

EX=200×

12

100

+160×

35

100

+120×

25

100

+80×

11

100

+40×

15

100

-40×

2

100

=124（元）．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．