Question

【题目】如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段中点的轨迹方程；

（3）求证：点的横坐标为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）.

【解析】

（1）根据题意可得，由此求得椭圆方程。

（2）设，利用点差法求出线段中点的轨迹方程。

（3）设直线的方程为： ，直线的方程为： ，联立求得，由此证明点的横坐标为定值。

（1）椭圆两顶点，短轴长为，焦距为，

，解得

椭圆方程为：.

（2）设，

则 ①， ②，

则①②得，

，

即 .

线段中点的轨迹方程为：.

（3）证明：设直线的方程为： ，

直线的方程为： ，

两式联立可得：

由①②得

即 ③，

又三点共线，则④，

②代入③得

把③④代入⑤整理得.