题目内容
在平面直角坐标系中，已知点O（0，0）．A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），其中α∈（
，
）．
（1）若
•
=-1，求
的值．
（2）若f（α）=
•
-t2+2在定义域α∈（
，
）有最小值-1，求t的值．
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
（1）若
| AC |
| BC |
| 2sin2α+2sinαcosα |
| 1+tanα |
（2）若f（α）=
| OC |
| OD |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：本题（1）利用平面向量的坐标化，得到角α的三角函数关系，通过三角化简变形后，得到所求三角函数式的值；（2）通过换元，将三角函数式转化为二次函数，求二次函数在区间上的最小值，得到关于t的方程，求出t的值．
解答：
解：由
•
=-1得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=
．
又
=
=sinαcosα．
由①式两边平方得1+2sinαcosα=
，
∴2sinαcosα=-
．
∴
=-
．
（2）依题意记y=f（α）=-2cos2α-tsinα-t2+2
=2（1-cos2α）-tsinα-t2+2=2sin2α-tsinα-t2．
令x=sinα，α∈(
，
)∴sinα∈（-1，1）．
y=2x2-tx-t2，x∈（-1，1）
关于x的二次函数开口向上，对称轴为x=
，
y=2x2-tx-t2 在x∈（-1，1）上存在最小值，
则对称轴x=
∈(-1，1)，∴t∈（-4，4）．
且当x=
时，y=2x2-tx-t2 取最小值为ymin=2×
-t•
-t2=-
t2=-1．
∴t=±
．
| AC |
| BC |
∴sinα+cosα=
| 2 |
| 3 |
又
| 2sin2α+2sinαcosα |
| 1+tanα |
| 2sinα(sinα+cosα) | ||
1+
|
由①式两边平方得1+2sinαcosα=
| 4 |
| 9 |
∴2sinαcosα=-
| 4 |
| 9 |
∴
| 2sin2α+2sinαcosα |
| 1+tanα |
| 5 |
| 9 |
（2）依题意记y=f（α）=-2cos2α-tsinα-t2+2
=2（1-cos2α）-tsinα-t2+2=2sin2α-tsinα-t2．
令x=sinα，α∈(
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
y=2x2-tx-t2，x∈（-1，1）
关于x的二次函数开口向上，对称轴为x=
| t |
| 4 |
y=2x2-tx-t2 在x∈（-1，1）上存在最小值，
则对称轴x=
| t |
| 4 |
且当x=
| t |
| 4 |
| t2 |
| 16 |
| t |
| 4 |
| 9 |
| 8 |
∴t=±
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查了化归转化思想，涉及到三角函数式的化简，三角函数转化为代数函数．本题有一定的难度，属于中档题．
练习册系列答案
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不等式
＜1的解集为（ ）
| 1 |
| x |
| A、（1，+∞） |
| B、（-∞，0）∪（1，+∞） |
| C、（-∞，0） |
| D、（-∞，-1）∪（1，+∞） |