Question

在△ABC中，AH为BC边上的高，tan

C

2

=

1

2

，则过点C，以A，H为焦点的双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式由tan

C

2

=

1

2

，得tanC=

AH

CH

=

4

3

，再设AH=4a，CH=3a，则AC=5a，最后利用双曲线定义知离心率为

AH

AC-CH

，代入计算即可

解答：解：如图所示，由tan

C

2

=

1

2

，得tanC=

2tan C 2

1-tan2 C 2

=

4

3

．
由题可知AH⊥BC，以A，H为焦点的双曲线的离心率e=

AH

AC-CH

．
∵△AHC为直角三角形，且tanC=

AH

CH

=

4

3

，
∴可设AH=4a，CH=3a，则AC=5a，所以离心率e=

AH

AC-CH

=

4a

5a-3a

=2．
故答案为 2

点评：本题考察了双曲线的定义和几何性质，离心率的意义和求法，二倍角公式的运用．