Question

（2012•烟台二模）设数列{a_n}满足条件a₁=8，a₂=0，a₃=-7，且数列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列．
（1）设c_n=a_n+1-a_n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）若bn=

2

n

•cn，求Sn=b1+b2+…+bn．

Answer 1

分析：（1）由题意可得数列{c_n}是等差数列，求出首项c₁=a₂-a₁，c₂=a₃-a₂，从而可求公差d=c₂-c₁，根据等差数列的通项公式可求
（2）由题意可得bn=(n-9)•2n，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和

解答：解：（1）∵数列{a_n+1-a_n}是等差数列，c_n=a_n+1-a_n
∴数列{c_n}是等差数列，首项c₁=a₂-a₁=-8，c₂=a₃-a₂=-7
∴公差d=c₂-c₁=-7-（-8）=1
∴c_n=c₁+（n-1）d=-8+（n-1）×1=n-9
（2）∵bn=(n-9)•2n
∴S_n=（-8）•2+（-7）•2²+…+（n-9）•2ⁿ
2S_n=（-8）•2²+（-7）•2³+…+（n-9）•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-S_n=（-8）•2+2²+2³+…+2ⁿ-（n-9）•2ⁿ⁺¹
=-16+

4(1-2n-1)

1-2

-(n-9)•2n+1
=-16+2ⁿ⁺¹-4-（n-9）•2ⁿ⁺¹
∴Sn=20+(n-10)•2n+1

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用是求解本题的关键