Question

2．证明：7|（2222⁵⁵⁵⁵+5555²²²²）

Answer 1

分析 由2222=317×7+3，5555=793×7+4可得2222≡3 （mod 7），5555≡4 （mod 7），进而可得2222⁵≡-5555²（mod 7），进而可得（2222⁵）¹¹¹¹+（5555²）¹¹¹¹≡0（mod 7），证得结论．

解答 证明：∵2222⁵⁵⁵⁵+5555²²²²=（2222⁵）¹¹¹¹+（5555²）¹¹¹¹，
∵2222=317×7+3，5555=793×7+4；
∴2222≡3 （mod 7），5555≡4 （mod 7），
∴2222⁵≡3⁵≡5（mod 7），5555²≡4²≡2（mod 7），
∴2222⁵+5555²≡5+2≡0（mod 7），
∴2222⁵≡-5555²（mod 7），
∴（2222⁵）¹¹¹¹≡（-5555²）¹¹¹¹≡-（5555²）¹¹¹¹（mod 7），
∴（2222⁵）¹¹¹¹+（5555²）¹¹¹¹≡0（mod 7），
即7|（2222⁵⁵⁵⁵+5555²²²²）

点评 本题考查的知识点是整除的基本性质，难度中档．