Question

11．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}$（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

Answer 1

分析 （1）在圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$）的两边同时乘以ρ，即可得圆的直角坐标方程，从而求圆心的直角坐标；
（2）先把切线长表示出来再去求最小值；

解答 解：（1）∵ρ=$\sqrt{2}$cos θ-$\sqrt{2}$sin θ，∴ρ²=$\sqrt{2}$ρcos θ-$\sqrt{2}$ρsin θ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²-$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y=0．
∴圆心C的直角坐标为：（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$）
（2）直线l上的点向圆C引切线，切线长是
$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}t-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{2}+4\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{{t}^{2}+8t+40}$=$\sqrt{（t+4）2+24}$≥2 $\sqrt{6}$．
∴直线l上的点向圆C引的切线的切线长的最小值是2 $\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，属于中档题．