Question

【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于，两点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）结合向量数量积的坐标运算，由求得的值，由此求得抛物线方程.

（2）法一：设直线方程为，联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理，计算，由此证得.

法二：将直线的斜率分为存在和不存在两种情况进行分类讨论，通过计算，证得.

（1）由题设抛物线的方程为：，

则点的坐标为，点的一个坐标为，

∵，∴，

∴，∴，∴.

（2）设、两点坐标分别为、，

法一：因为直线当的斜率不为0，设直线当的方程为

方程组，得，

，

因为，

所以

，

所以.

法二：①当的斜率不存在时，的方程为，此时，，

即，有，所以.

②当的斜率存在时，设的方程为.

方程组，得，

所以，

因为，

所以

所以.

由①②得.