Question

已知圆：，点，直线.

(1)求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；

（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上的任一点，都有为一常数，试求出所有满足条件的点的坐标.

Answer 1

（1）设所求直线方程为，即.

由直线与圆相切，可知，得，

故所求直线方程为             

（2）方法1：假设存在这样的点，

     当为圆与轴左交点时，，

     当为圆与轴右交点时，

依题意，，解得（舍去），或.

下面证明：点对于圆上任一点，都有为一常数.

设，则.

，

从而为常数.                           

方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，

于是，将代入得，

，即

对恒成立，

所以 ，解得或（舍去），

故存在点对于圆上任一点，都有为一常数.