Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调递增区间；

（3）当时，证明： （其中为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)证明见解析

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到 ；（2）对函数求导，分类讨论导函数的正负，得到单调区间；（3）由 知需证明.，对函数求导，研究函数的最值即可。

解析：

（1）当时， ，

∴

∴在点处的切线方程是.

（2）的定义域为

当，即当时，由解得或

当时， ，

当，即当时，由解得或

综上：当时， 的单调递增区间是，

当时， 的单调递增区间是

当时， 的单调递增区间是，

（3）当时，由 知需证明

令 ，

设，则

当时， ， 单调递减

当时， ， 单调递增

∴当时， 取得唯一的极小值，也是最小值

的最小值是

另解：证明（“”不能同时成立）