Question

【题目】如图，已知， ， ，平面平面， ， ， 为中点.

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：设中点为，连可证∴

进而证明平面.又平面，∴，∴又∴∴∵， 平面， 平面，∴平面.

（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系，得到相应点的坐标和向量的坐标，设平面的法向量，可得， ，即可求得直线与平面所成角的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）证明：设中点为，连

∵为中点，∴

又由题意， ∴，且

∴四边形为平等四边形，∴

∵ ∴，又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面.

又平面，∴，∴又∴∴

∵， 平面， 平面，∴平面.

（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系， ， ， ， ，设平面的法向量，则∴取，

∴

设直线与平面所成角为，则，∴

即直线与平面所成角的余弦值.