Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若方程只有一解，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设函数，若对任意正实数， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，可得函数在上单调递减，函数在区间上单调递增，根据单调性可得时， ， 时， ,且，结合函数图象可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意正实数， 恒成立，等价于，先排除，当时，利用导数可得，所以.

试题解析：（Ⅰ）由已知.

当时， ，函数在上单调递减；

当时， ，函数在区间上单调递增.

故.

又当时， .

且 （对足够小的）.

又当时， .

即所求的取值范围是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

所以对任意正实数， 恒成立，

等价于.

∵.

（1）当时， ，与式矛盾，故不合题意.

（2）当时，

当时， ，当时， ，

所以在上单调递增，在区间上单调递减.

，所以.

综合（1）（2）知实数的取值范围为.