题目内容

已知点F₁，F₂分别为椭圆C： $数学公式$ 的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂（1，0）的距离的最大值为 $数学公式$ +1．
（1）求椭圆C的方程．
（2）点M的坐标为（ $数学公式$ ，0），过点F₂且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R， $数学公式$ 是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

解：（1）由题意，可知：c=1且a+c= $\text{[math]}$ +1，
∴a= $\text{[math]}$ ，可得b²=a²-c²=1
因此，椭圆C的方程为： $\text{[math]}$ +y²=1
（2）设直线l的方程为：y=k（x-1）
直线交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$ 消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由根与系数的关系，得 $\text{[math]}$
∵M（ $\text{[math]}$ ，0），可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =（x₁- $\text{[math]}$ ）（x₂- $\text{[math]}$ ）+y₁y₂=- $\text{[math]}$ （x₁+x₂）+x₁x₂+ $\text{[math]}$ +y₁y₂，
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x₁+x₂）+x₁x₂+ $\text{[math]}$ +y₁y₂=- $\text{[math]}$ （x₁+x₂）+x₁x₂+ $\text{[math]}$ +k²（x₁-1）（x₂-1）
=- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +k²（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1）=- $\text{[math]}$
∴对于任意的k∈R， $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （定值）．
分析：（1）根据题意，可得c=1且a= $\text{[math]}$ ，再用平方关系算出b²=1，从而得到椭圆C的方程．
（2）设直线交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l的方程y=k（x-1）与椭圆C联解消去y，得关于x的方程，再运用根与系数关系算出x₁+x₂、x₁x₂关于k的式子，最后利用向量数量积的坐标公式将 $\text{[math]}$ 化简整理，即可得到对于任意的k∈R， $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （定值）．
点评：本题给出椭圆方程，求解过焦点的直线与椭圆相交所得向量数量积的问题，着重考查了椭圆的几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．