Question

（2011•聊城一模）已知点F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，∠F1PF2=

π

3

，△F1PF2的面积为

3

3

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点M的坐标为(

5

4

，0)，过点F₂且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的k∈R，

MA

•

MB

是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，在△PF₁F₂中，由余弦定理以及三角形的面积，结合椭圆定义，求出a，c，b可得椭圆的方程．
（Ⅱ）利用直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合向量的数量积化简得到定值即可．

解答：解：（Ⅰ）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，在三角形PF₁F₂中，由余弦定理得4=m²+n²-2mncos

π

3

，由三角形的面积为

3

3

所以

1

2

mnsin

π

3

=

3

3

，所以mn=

4

3

，所以m+n=2

2

，所以a=

2

；又c=1，所以b=1，椭圆C的方程为

x2

2

+ y2 =1；
（Ⅱ）由F₂（1，0），直线l的方程为y=k（x-1）．由

y=k(x-1) x2 2 +y2 =1

消去y，（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2(k2-1)

2k2+1

∴

MA

•

MB

=（x₁-

5

4

，y₁）（x₂-

5

4

，y₂）=（x₁-

5

4

）（x₂-

5

4

）+y₁y₂
=（x₁-

5

4

）（x₂-

5

4

）+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（k²+1）

2k2-2

2k2+1

-

4k2(k2+ 5 4 )

2k2+1

+

25

16

+k²
=

-4 k2-2

2k2+1

+

25

16

=-

7

16

由此可知

MA

•

MB

=-

7

16

为定值．

点评：本题是中档题，考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，注意余弦定理、面积公式椭圆的定义以及向量数量积的综合应用，考查计算能力，转化思想．