题目内容
已知点F1,F2分别为椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2(1,0)的距离的最大值为
+1.
(1)求椭圆C的方程.
(2)点M的坐标为(
,0),过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点.对于任意的k∈R,
•
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
(1)求椭圆C的方程.
(2)点M的坐标为(
5 |
4 |
MA |
MB |
分析:(1)根据题意,可得c=1且a=
,再用平方关系算出b2=1,从而得到椭圆C的方程.
(2)设直线交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程y=k(x-1)与椭圆C联解消去y,得关于x的方程,再运用根与系数关系算出x1+x2、x1x2关于k的式子,最后利用向量数量积的坐标公式将
•
化简整理,即可得到对于任意的k∈R,
•
=-
(定值).
2 |
(2)设直线交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程y=k(x-1)与椭圆C联解消去y,得关于x的方程,再运用根与系数关系算出x1+x2、x1x2关于k的式子,最后利用向量数量积的坐标公式将
MA |
MB |
MA |
MB |
7 |
16 |
解答:解:(1)由题意,可知:c=1且a+c=
+1,
∴a=
,可得b2=a2-c2=1
因此,椭圆C的方程为:
+y2=1
(2)设直线l的方程为:y=k(x-1)
直线交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
由根与系数的关系,得
∵M(
,0),可得
=(x1-
,y1),
=(x2-
,y2)
∴
•
=(x1-
)(x2-
)+y1y2=-
(x1+x2)+x1x2+
+y1y2,
∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)
∴
•
=-
(x1+x2)+x1x2+
+y1y2
=-
(x1+x2)+x1x2+
+k2(x1-1)(x2-1)
=-
•
+
+
+k2(
-
+1)=-
∴对于任意的k∈R,
•
=-
(定值).
2 |
∴a=
2 |
因此,椭圆C的方程为:
x2 |
2 |
(2)设直线l的方程为:y=k(x-1)
直线交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2),
由
|
由根与系数的关系,得
|
∵M(
5 |
4 |
MA |
5 |
4 |
MB |
5 |
4 |
∴
MA |
MB |
5 |
4 |
5 |
4 |
5 |
4 |
25 |
16 |
∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)
∴
MA |
MB |
5 |
4 |
25 |
16 |
=-
5 |
4 |
25 |
16 |
=-
5 |
4 |
4k2 |
1+2k2 |
2k2-2 |
1+2k2 |
25 |
16 |
2k2-2 |
1+2k2 |
4k2 |
1+2k2 |
7 |
16 |
∴对于任意的k∈R,
MA |
MB |
7 |
16 |
点评:本题给出椭圆方程,求解过焦点的直线与椭圆相交所得向量数量积的问题,着重考查了椭圆的几何性质和直线与椭圆位置关系等知识,属于中档题.
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