Question

已知点F₁，F₂分别为椭圆C：的左右焦点，P是椭圆C上的一点，且的面积为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点M的坐标为，过点F₂且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，在△PF₁F₂中，由余弦定理以及三角形的面积，结合椭圆定义，求出a，c，b可得椭圆的方程．
（Ⅱ）利用直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合向量的数量积化简得到定值即可．
解答：解：（Ⅰ）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，在三角形PF₁F₂中，由余弦定理得4=m²+n²-2mncos，由三角形的面积为
所以，所以mn=，所以m+n=2，所以a=；又c=1，所以b=1，椭圆C的方程为；
（Ⅱ）由F₂（1，0），直线l的方程为y=k（x-1）．由消去y，（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴=（x₁-，y₁）（x₂-，y₂）=（x₁-）（x₂-）+y₁y₂
=（x₁-）（x₂-）+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（k²+1）-++k²
==由此可知=-为定值．
点评：本题是中档题，考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，注意余弦定理、面积公式椭圆的定义以及向量数量积的综合应用，考查计算能力，转化思想．