Question

已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的导函数为f^/（x），若g（x）=f^/（x）+f（x）对任意实数x，都有g（x）=g（-x）则θ可以是（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  2

• D、π

Answer 1

分析：先对函数f（x）进行求导，然后代入到g（x）=f^/（x）+f（x）中，根据g（x）=g（-x）可得到任意实数x满足2cos（x+θ）=2cos（-x+θ），再由两角和与差的余弦公式可求得θ的值．

解答：解：∵f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）∴f^/（x）=cos（x+θ）-sin（x+θ）
∴g（x）=f^/（x）+f（x）=2cos（x+θ）
∵g（x）=g（-x）∴2cos（x+θ）=2cos（-x+θ）
∴cosxcosθ-sinxcosθ=cosxcosθ+sinxcosθ
∴sinxcosθ=0任意实数x恒成立
∴cosθ=0∴θ=kπ
当k=1时，θ=π
故选D．

点评：本题主要考查三角函数的求导运算和两角和与差的公式的应用．考查基础知识的综合应用和灵活应用．三角函数的基本性质--单调性、最小正周期、值域、对称性等是高考的重点，平时应多积累，到考试时才能做到灵活运用．