Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2．数列{b_n}满足bn=an+1+(-1)nan，n∈N₊．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求数列{b_n}的前6项和S₆；
（2）若数列{b_n}是公差为2的等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_2n-b_2n-1=0，b2n+1+b2n=

6

2n

，n∈N₊，求数列{a_n}的前2n项的和T_2n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₂=2，可得a_n=n，由此求得数列{b_n}的前6项，即可得到数列{b_n}的前6项和S₆ 的值．
（2）数列{b_n}是公差为2的等差数列，b₁=a₂-a₁=1，故b_n=2n-1．由b_n=a_n+1+（-1）ⁿa_n，知b_2n-1=a_2n-a_2n-1=4n-3，b_2n=a_2n+1+a_2n=4n-1．相减可得 a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+3+a_2n+1=2，求得a_4n-3=a₁=1，a_4n-1=a₃=1．由此能求出a_n．
（3）由bn=an+1+(-1)nan，n∈N₊．知b_2n=a_2n+1+a_2n，b_2n-1=a_2n-a_2n-1，b_2n+1=a_2n+2-a_2n+1，由b_2n-b_2n-1=0，b2n+1+b2n=

6

2n

，n∈N₊，a2n-1+a2n=

6

2n

，由此能求出数列{a_n}的前2n项的和T_2n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₂=2，∴a_n=n，
∴bn=an+1+(-1)nan
=（n+1）+（-1）ⁿn，
∴数列{b_n}的前6项和S₆=（2-1）+（3+2）+（4-3）+（5+4）+（6-5）+（7+6）=30．
（2）∵数列{b_n}是公差为2的等差数列，b₁=a₂-a₁=1，
∴b_n=2n-1．
∵b_n=a_n+1+（-1）ⁿa_n，
∴b_2n-1=a_2n-a_2n-1=4n-3，b_2n=a_2n+1+a_2n=4n-1．
相减可得 a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+3+a_2n+1=2，∴a_2n+3=a_2n-1．
∵a₁=1，a₃=1，∴a_4n-3=a₁=1，a_4n-1=a₃=1．
∴a_n=

1，n为奇数 2n-2，n为偶数

．
（3）∵b_2n-b_2n-1=0，b2n+1+b2n=

6

2n

，n∈N₊，
而b_2n-1=a_2n-a_2n-1，b_2n=a_2n+1+a_2n，b_2n+1=a_2n+2-a_2n+1，
∴a_2n+1=-a_2n-1，a2n+2+a2n=

6

2 n

，n∈N₊，
∵a₁=1，∴a_2n-1=（-1）^n-1，
∵a₂=2，由a2n+2+a2n=

6

2 n

，n∈N₊，可知，数列{a_2n}唯一确定，
而a_2n=

4

2n

时满足要求，∴a_2n=

4

2n

，
∴数列{a_n}的前2n项的和T_2n=（a₁+a₂+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1-(-1)n

1-(-1)

-

2×(1- 1 2n )

1- 1 2

=

9

2

-4×(

1

2

)n-(

1

2

)•(-1)n．
∴数列{a_n}的前2n项的和T_2n=

9

2

-4×(

1

2

)n-(

1

2

)•(-1)n．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，根据递推关系求通项，属于难题．