Question

【题目】设函数.

（1）求的单调区间；

（2）若对于任意，都有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)

【解析】

（1）对函数求导，由导函数的正负得到原函数的单调区间；

（2）由第一问确定出函数在给定区间上的单调性，之后将任意的，恒成立转化为 ，即，

再构造新函数，求导得到其单调性，结合其性质，求得最后的结果.

（1）因为，所以，

所以当时，；

当时，．

所以的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得最小值，且．

所以对于任意的，的充要条件为

，即 ①

设函数，则．

当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增．

又，，，

所以当时，，即①式成立，

综上所述，的取值范围是．