Question

三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（２）若PA=，PC与侧面APB所成角的余弦值为，PB与底面ABC成60°角，求二面角B―PC―A的大小。

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）60°

试题分析：（Ⅰ）先利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理证明平面PAB⊥平面PBC；（2）过A作则ÐEFA为所求.然后求出AB=,PB=2,PC=3及AE,AF，在RtAEF中求解即可.
试题解析： (1)证明：∵PA^面ABC,\PA^BC,   ∵AB^BC,且PA∩AB=A,\BC^面PAB
而BCÌ面PBC中,\面PAB^面PBC. ……5分
(2)过A作

则ÐEFA为B?PC?A的二面角的平面角     8分
由PA=,在RtDPBC中,cosÐCPB=.
RtDPAB中,ÐPBA=60°. \AB=,PB=2,PC=3  \AE=  =
同理：AF=         10分
∴sin==,        11分
∴=60°.          12分
另解：向量法：由题可知：AB=,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系        7分
B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,,0),P(0,,),假设平面BPC的法向量为=(x₁,y₁,z₁),
∴
取z₁=，可得平面BPC法向量为=(0,?3,)      9分
同理PCA的法向量为=(2,?,0)              11分
∴cos<,>==,所求的角为60°         12分