Question

14．已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=（x-a）²+1．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）+f（2x+3）≥5；
（Ⅱ）对任意x≠a，若$\frac{f（x）}{g（x）}$＜m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可解不等式f（x）+f（2x+3）≥5；
（Ⅱ）设x-a=t（t≠0），则$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{|t|}{{t}^{2}+1}$=$\frac{1}{|t|+\frac{1}{|t|}}$≤$\frac{1}{2}$，即可求m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）+f（2x+3）≥5，可化为|x-1|+|2x+2|≥5，
x＜-1时，-x+1-2x-2≥5，解得x≤-2，∴x≤-2；
-1≤x≤1时，-x+1+2x+2≥5，解得x≥2，∴无解；
x＞1时，x-1+2x+2≥5，解得x≥$\frac{4}{3}$，∴x≥$\frac{4}{3}$；
∴不等式的解集为{x|x≤-2或x≥$\frac{4}{3}$}；
（Ⅱ）设x-a=t（t≠0），则$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{|t|}{{t}^{2}+1}$=$\frac{1}{|t|+\frac{1}{|t|}}$≤$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{f（x）}{g（x）}$＜m恒成立，∴m＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查绝对值的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查学生转化问题的能力，属于中档题．