Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，X∈R）的部分图象如图，M是图象的一个最低点，图象与x轴的一个交点坐标为（

π

2

，0），与y轴的交点坐标为（0，-

2

）．
（Ⅰ）求A，ω，φ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象可求得其周期T=4π，从而可求得ω；由其图象与x轴的一个交点坐标为（

π

2

，0）及|φ|＜

π

2

可求得φ，当x=0时，y=Asin（-

π

4

）=-

2

，可求得A；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=2sin（

1

2

x-

π

4

），利用正弦函数的单调性即可求得其单调递减区间．

解答：解：（Ⅰ）由图可知，函数的周期T=4×[

π

2

-（-

π

2

）]=4π，
∴

2π

ω

=4π，ω=

1

2

；
∵图象与x轴的一个交点坐标为（

π

2

，0），
∴Asin（

1

2

×

π

2

+φ）=0，
∴sin（

π

4

+φ）=0，
∴

π

4

+φ=kπ，故φ=kπ-

π

4

（k∈Z）．
由|φ|＜

π

2

得，-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴φ=-

π

4

，
∴y=Asin（

1

2

x-

π

4

）．
当x=0时，y=Asin（-

π

4

）=-

2

，
∴A=2．
综上可知，A=2，ω=

1

2

，φ=-

π

4

．
（Ⅱ）∵y=2sin（

1

2

x-

π

4

），
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z）．
解得4kπ+

3π

2

≤x≤4kπ+

7π

2

，（k∈Z）．
∴函数的单调递减区间是[4kπ+

3π

2

，4kπ+

7π

2

]（k∈Z）．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，求得A、ω、φ的值是关键，考查正弦函数的单调性，属于中档题．