Question

16．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，求它们的高之比．

Answer 1

分析 设母线长为l，小圆锥半径为r、高为h，大圆锥半径为R，高为H，根据侧面积之比可得R=2r．再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到l=3r，利用勾股定理得到h、H关于r的式子，即可求出它们的比值．

解答 解：设圆锥母线长为l，侧面积较小的圆锥半径为r，侧面积较大的圆锥半径为R，它们的高分别为h、H，
它们的侧面积之比为1：2，
则πrl：πRl=1：2，得R=2r
∵两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，
∴$\frac{2π}{3}$=$\frac{r}{l}$×2π，得l=3r．再由勾股定理，得h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r
同理可得，H=$\sqrt{{l}^{2}-{R}^{2}}$=$\sqrt{5}$r
∴两个圆锥的高之比为：$\frac{2\sqrt{2}r}{\sqrt{5}r}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题给出母线相等的两个圆锥侧面积的比，并且侧面展开图恰好拼成一个圆，求它们的高之比，着重考查了圆锥侧面展开图的认识，属于中档题．