题目内容

12．某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．
单价x（万元）88.28.48.88.69
销量y（件）908483758068
（1）①求线性回归方程y=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；②谈谈商品定价对市场的影响；
（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？
（附：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80）

分析 （1）①根据公式求出$\widehat{b}$和$\widehat{a}$的值，求出回归方程即可；②根据b的值判断即可；（2）求出关于w的表达式，结合二次函数的性质求出w的最大值即可．

解答 解：（1）①依题意：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$=-20，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=80+20×8.5=250，
∴回归直线的方程为y=-20x+250；
②由于$\widehat{b}$=-20＜0，则x，y负相关，
故随定价的增加，销量不断降低．
（2）设科研所所得利润为w，设定价为x，
∴w=（x-4.5）（-20x+250）=-20x2+340x-1125，
∴当$x=\frac{340}{40}=8.5$时，wmax=320，
故当定价为8.5元时，w取得最大值．

点评 本题考查了回归方程问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．

练习册系列答案
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