Question

F₁、F₂是双曲线

x2

4a2

-

y2

a2

=1(a＞0)的两个焦点，P为双曲线上一点，

PF1

•

PF2

=0，且△F₁PF₂的面积为1，则a的值是

1

．

Answer 1

分析：先根据双曲线方程得到a和c的表示式，再根据双曲线定义得到|m-n|=2a，结合∠F₁PF₂=90°可得m²+n²=（2c）²，求出|PF₁|与|PF₂|的积，代入求三角形面积的公式，即可得到结论，

解答：解：∵F₁、F₂是双曲线

x2

4a2

-

y2

a2

=1(a＞0)的两个焦点，
设双曲线的点P到两个焦点的距离分别是m，n
∴根据双曲线的定义知m-n=4a，①
∵P为双曲线上一点，

PF1

•

PF2

=0，
∴m²+n²=20a²  ②
把①平方减去②得，mn=2a²，
∵△F₁PF₂的面积为1，
∴

1

2

×2a2=1
∴a=1
故答案为：1

点评：本题主要考查双曲线的基本性质．在涉及到与焦点有关的题目时，一般都用定义求解，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．