Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，试求该双曲线的离心率．

Answer 1

分析：利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a，c的关系．

解答：解：由△ABF₂是正三角形，则在Rt△AF₁F₂中，有∠AF₂F₁=30°，
∴|AF1|=

1

2

|AF2|，又|AF₂|-|AF₁|=2a．
∴AF₂=4a，AF₁=2a，又F₁F₂=2c，
又在Rt△AF₁F₂中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a²+4c²=16a²，∴

c2

a2

=3．
∴e=

c

a

=

3

．

点评：熟练掌握直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理、离心率的计算公式等事件他的关键．