Question

设点M（-3，2

3

）是抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，过该抛物线焦点F的直线与它交于A、B两点，若

FM

•

FA

=0，则△MAB的面积为（　　）

• A、32

  3

• B、20

  3

• C、24

  3

• D、16

  2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意求出抛物线的方程，求出焦点F的坐标，由

FM

•

FA

=0得

FM

⊥

FA

，即k_FM•k_AB=-1求出直线AB的斜率和方程，联立抛物线方程消去y，由韦达定理和焦点弦公式求出|AB|，再求出三角形边AB的高FM，即可求出△MAB的面积．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点M（-3，2

3

）是抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，
所以-

p

2

=-3，解得p=6，
则抛物线的方程是y²=12x，焦点F的坐标是（3，0），
因为

FM

•

FA

=0，所以

FM

⊥

FA

，则k_FM•k_AB=-1，
由k_FM=

2 3 -0

-3-3

=-

3

3

得，k_AB=

3

，
所以直线AB的方程是y=

3

（x-3），代入y²=12x得，
x²-10x+9=0，则x₁+x₂=10，所以|AB|=x₁+x₂+6=16，
由

FM

⊥

FA

得，FM⊥AB，且FM=

62+(2 3 )2

=4

3

，
所以△MAB的面积S=

1

2

×AB×FM=

1

2

×16×4

3

=32

3

，
故选：A．

点评：本题考查抛物线的方程及性质，韦达定理和焦点弦公式，数量积的运算等，属于中档题．