Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n．
（1）分别计算a₂，a₃，a₄，猜想通项公式a_n，并用数学归纳法证明之；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得（n+1）a_n=（n-1）a_n-1．可得a₂=$\frac{1}{6}$，a₃=$\frac{1}{12}$，a₄=$\frac{1}{20}$．猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．利用数学归纳法证明即可．
（2）a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1，化为（n+1）a_n=（n-1）a_n-1．
∴a₂=$\frac{1}{3}{a}_{1}$=$\frac{1}{6}$．同理可得：a₃=$\frac{1}{12}$，a₄=$\frac{1}{20}$．
猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，成立．
②假设当n=k∈N^*时成立，即${a}_{k}=\frac{1}{k（k+1）}$．
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{k}{k+2}$a_k=$\frac{k}{k+2}×\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{1}{（k+1）（k+1+1）}$，也成立．
综上可得：?n∈N^*，a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）∵a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、数学归纳法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．