题目内容
15．已知椭圆$\frac{y^2}{9}$+x2=1，过点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的直线与椭圆交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为（ ）| A． | 9x+y-5=0 | B． | 9x-y-4=0 | C． | 2x+y-2=0 | D． | x+y-5=0 |
分析 将A和B点坐标代入椭圆方程，两式相减求得：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x1+x2）（x1-x2）=0，由中点弦公式及直线的斜率公式，求得直线斜率，代入点斜式方程，即可求得直线AB的方程．
解答 解：直线AB与椭圆$\frac{y^2}{9}$+x2=1相交于AB两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{9}+{y}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{9}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x1+x2）（x1-x2）=0，
P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）为AB的中点，
∴x1+x2=1 y1+y2=1，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，
∴直线AB的方程为y-$\frac{1}{2}$=-9（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：9x+y-5=0，
故答案为：A．
点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，中点弦公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{3}{20}$ | B． | $\frac{3}{4}$ | C． | $-\frac{3}{10}$ | D． | $-\frac{3}{4}$ |