Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos²$\frac{A}{2}$+acos²$\frac{B}{2}$=$\frac{3}{2}$c．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可．
（Ⅱ）利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：$sinB{cos^2}\frac{A}{2}+sinAco{s^2}\frac{B}{2}=\frac{3}{2}sinC$
即$sinB•\frac{1+cosA}{2}+sinA•\frac{1+cosB}{2}=\frac{3}{2}sinC$，
∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC…（2分）
∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC
∴sinB+sinA+sinC=3sinC…（4分）
∴sinB+sinA=2sinC
∴a+b=2c…（5分）
∴a，c，b成等差数列．…（6分）
（Ⅱ）$S=\frac{1}{2}ab{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab=2\sqrt{3}$
∴ab=8…（8分）
c²=a²+b²-2abcosC
=a²+b²-ab
=（a+b）²-3ab
=4c²-24．…（10分）
∴c²=8得$c=2\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数妹子学到了与余弦定理，等差数列的应用，考查转化思想以及计算能力．