Question

13．已知直线y=-x+4与圆x²+y²=r²（r＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{4}\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$，则r=2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=θ，由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{4}\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式cosθ=2cos²$\frac{θ}{2}$-1可求cos $\frac{θ}{2}$，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y-4=0的距离为d，进而可求r．

解答 解：由题意可得，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=r
设＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=θ，θ∈[0，π]
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cosθ=r²cosθ
∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{4}\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$，两边同时平方可得，${\overrightarrow{OC}}^{2}$=$\frac{25}{16}$$\overrightarrow{OA}$²+$\frac{6}{16}{\overrightarrow{OB}}^{2}$+$\frac{15}{8}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$
即r²=$\frac{25}{16}$r²+$\frac{9}{16}$r²+r²cosθ×$\frac{15}{8}$，
∴cosθ=-$\frac{3}{5}$，
∵cosθ=2cos²$\frac{θ}{2}$-1，$\frac{θ}{2}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴且cos$\frac{θ}{2}$＞0，
∴cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
设圆心O到直线x+y-4=0的距离为d，则d=rcos$\frac{θ}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$
即$\frac{\sqrt{5}}{5}$r=$2\sqrt{2}$，
∴r=2$\sqrt{10}$．
故答案为：$2\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．