Question

【题目】已知为奇函数，为偶函数，且.

（1）求函数及的解析式，并用函数单调性的定义证明：函数在上是减函数；

（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），，证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据，用代替式子中的，利用奇偶性，构造方程组，解出和的解析式，取任意的，且，对进行化简，判断出，从而证明；（2）先得到的解析式，令，判断出的值域，从而得到的值域，根据方程有解，从而得到的取值范围.

（1）因为为奇函数，为偶函数,

所以.

又因为 ①

所以代替式子中的，得到

，即 ②

联立①②，可得

，

设任意的，且,

则，

因为，所以

所以，即，所以0

所以，即函数在上是减函数

（2）因为,所以，

设，则，为单调递减函数，

因为的定义域为，

所以，得到

即的定义域为

即，

所以， 则，

因为关于的方程有解，

故的取值范围为.