Question

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为
则，解得
∴椭圆方程
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又
∴l的方程为：
由，
∴x²+2mx+2m²﹣4=0
直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）²﹣4（2m²﹣4）＞0，
∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
只需证明k₁+k₂=0即可
设
由x²+2mx+2m²﹣4=0可得x₁+x₂=﹣2m，x₁x₂=2m²﹣4
而
=
=
=
=
∴k₁+k₂=0
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．