Question

若对所有实数x，均有sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx=cos^k2x，则k=（　　）

• A、6
• B、5
• C、4
• D、3

Answer 1

分析：记f（x）=sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx-cos^k2x，则由条件f（x）恒为0，取x=

π

2

，得k为奇数，设k=2n-1，上式成为sin(nπ-

π

2

)=-1，因此n为偶数，令n=2m，则k=4m-1．

解答：解：记f（x）=sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx-cos^k2x，则由条件f（x）恒为0，取x=

π

2

，得sin

kπ

2

=(-1)k，
则k为奇数．  设k=2n-1，上式成为sin(nπ-

π

2

)=-1，因此n为偶数，
令n=2m，则k=4m-1，故选择支中只有k=3满足题意，
故选   D．

点评：本题考查函数的恒成立问题，体现了特殊值的思想，得到k为奇数，设k=2n-1，在得到n为偶数，这是解题的难点．