Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）
（1）若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求实数a、b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若f（x）≤m²-2am+2对所有x∈[-1，

2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得

a＞0 △=b2-4a≤0

恒成立，即（a-1）²≤0恒成立，从而可求出a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，可得 [-2，2]?(-∞，

k-2

2

]或[-2，2]?[

k-2

2

，+∞)，从而得出 2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，解之即可得出k的取值范围．
（3）f（x）≤m²-2am+2对所有x∈[-1，

2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于m²-2am≥0对所有a∈[-1，1]恒成立，从而构造函数g（a）=m²-2am，故可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又对任意实数x均有f（x）≥0成立
∴

a＞0 △=b2-4a≤0

恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，
∴[-2，2]?(-∞，

k-2

2

]或[-2，2]?[

k-2

2

，+∞)
∴2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，
即实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）f（x）≤m²-2am+2对所有x∈[-1，

2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，
等价于m²-2am≥0对所有a∈[-1，1]恒成立，
构造函数g（a）=m²-2am，∴

m2-2m≥0 m2+2m≥0

，∴m≥2或m≤-2

点评：本题以二次函数为载体，考查了函数的恒成立问题及函数单调性的应用，难度一般，关键是掌握函数单调性的应用．