Question

（本小题满分12分）已知函数y=cos²x+sinxcosx+1,x∈R.
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）用五点法作出它的简图；
（3）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？

Answer 1

（1）y=cos²x+sinxcosx+1的振幅为A=,周期为T==π，初相为φ=.
（2）令x₁=2x+，则y=sin(2x+)+=sinx₁+，列出下表，并描出图象如下图所示：

x	-
x1	0		π		2π
y=sinx1	0	1	0	-1	0
y=sin(2x+)+

(3)方法一：将函数图象依次作如下变换：
函数y=sinx的图象函数y=sin(x+)的图象
函数y=sin(2x+)的图象
函数y=sin(2x+)的图象函数y=sin(2x+)+的图象,
即得函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象.
方法二：函数y=sinx的图象函数y=sin2x的图象函数y=sin(2x+)的图象函数y=sin(2x+)+的
函数y=sin(2x+)+的图象,
即得函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象.

本试题主要是考查了三角函数的作图和三角函数的图像的变换的综合运用。
注意五点法作图的重要性和熟练掌握，同时对于图像的变换可以先周期再平移，也可以先平移再周期，但是平移的量不同要注意区别。
解：y=cos²x+sinxcosx+1=cos2x+sin2x+
=sin(2x+)+.
（1）y=cos²x+sinxcosx+1的振幅为A=,周期为T==π，初相为φ=.
（2）令x₁=2x+，则y=sin(2x+)+=sinx₁+，列出下表，并描出图象如下图所示：

x	-
x1	0		π		2π
y=sinx1	0	1	0	-1	0
y=sin(2x+)+

(3)方法一：将函数图象依次作如下变换：
函数y=sinx的图象函数y=sin(x+)的图象
函数y=sin(2x+)的图象
函数y=sin(2x+)的图象函数y=sin(2x+)+的图象,
即得函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象.
方法二：函数y=sinx的图象函数y=sin2x的图象函数y=sin(2x+)的图象函数y=sin(2x+)+的
函数y=sin(2x+)+的图象,
即得函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象.