Question

3．已知函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），对函数f（x）的单调区间列表能求出函数f（x）的极值．
（2）求出f（2）=2+c为最大值，要使f（x）＜c²（x∈[-1，2]）恒成立，只需c²＞f（2）=2+c，由此能求出实数c的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c．
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-∞，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴f（x）_极大值=f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}+c$，f（x）_极小值=f（1）=-$\frac{3}{2}+c$．
（2）∵f（x）=x³-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+c，x?〔-1，2〕，
当x=-$\frac{2}{3}$时，f（x）=$\frac{22}{27}$+c为极大值，而f（2）=2+c，则f（2）=2+c为最大值．
∴要使f（x）＜c²（x∈[-1，2]）恒成立，只需c²＞f（2）=2+c
解得c＜-1或c＞2，
∴实数c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评 本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．