Question

【题目】已知首项均为的数列，，满足.

（1）令，求数列的通项公式；

（2）若数列为各项均为正数的等比数列，且，设，求数列的前项和.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

试题分析：（1）由题意得，从而，由此推导出数列是首项为，公差为的等差数列，进而可求出数列的通项公式；（2） ,为正项数列，∴，∴,先分组求，利用错位相减法结合等比数列的求和公式，可求得数列的前项和.

试题解析：（1） ，

即，且，

∴.

（2） ，

∵为正项数列，∴，∴，

∴.

（2）方法一：

，

设

，

设

，

∴ ，

∴

，

∴，

∴ .

方法二：

，

∴

，

令，

∴ ，

∴

，

∴，

∴.

【 方法点睛】本题主要考查等比数列求和公式与等差数列的通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.