Question

3．已知函数f（x）=|2x+1︳+|2x-3︳
（1）求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）若关于x的不等式|a-1︳＜f（x）的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论2x-3和2x+1的正负化简绝对值代入到f（x）≤6中，求出并集即可；
（2）|2x+1︳+|2x-3︳≥|2x+1-2x+3︳=4，关于x的不等式|a-1︳＜f（x）的解集为R，所以|a-1︳＜4，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）①当x≥$\frac{3}{2}$时，解得x≤2，所以$\frac{3}{2}$≤x≤2；
②x≤-$\frac{1}{2}$时，解得x≥-1，所以-1$≤x≤-\frac{1}{2}$；
③当-$\frac{1}{2}$$＜x＜\frac{3}{2}$时，解得x∈R，所以-$\frac{1}{2}$$＜x＜\frac{3}{2}$；
综上：不等式的解集为x|-1≤x≤2}；
（2）因为|2x+1︳+|2x-3︳≥|2x+1-2x+3︳=4，关于x的不等式|a-1︳＜f（x）的解集为R，
所以，|a-1︳＜4，解得-3＜a＜5   …（10分）

点评 考查学生理解函数恒成立时所取的条件，以及会分情况讨论求出绝对值不等式的解集．