Question

14．设f（x）=-x²-kx+2lnx-k+3．
（1）当k=0时，其f（x）的单调区间及最大值；
（2）若不等式f（x）＞0仅存在一个整数解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导数的正负求出函数的单调区间即可；
（2）不等式f（x）＞0，即k（x+1）＜-x²+2lnx+3，令g（x）=k（x+1），则直线g（x）恒过（-1，0），由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k＜-1+3}\\{3k＞-4+2ln2+3}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）当k=0时，f（x）=-x²+2lnx+3（x＞0），则f′（x）=$\frac{-2（x+1）（x-1）}{x}$，
∴0＜x＜1时，f′（x）＞0；x＞1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞），x=1时，函数取得最大值2；
（2）不等式f（x）＞0，即k（x+1）＜-x²+2lnx+3
令g（x）=k（x+1），则直线g（x）恒过（-1，0），
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k＜-1+3}\\{3k＞-4+2ln2+3}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$ln2＜k＜1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．