题目内容
11．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
| A． | $\frac{{41\sqrt{41}π}}{48}$ | B． | 12π | C． | $\frac{25π}{4}$ | D． | $\frac{41π}{4}$ |
分析 由三视图知：几何体为三棱锥S-ABC，且三棱锥的一个侧面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．
如图：△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点E，设该几何体的外接球的球心为O．OE⊥底面ABC，设OE=x，外接球的半径为R，利用勾股定理即可得出．
解答 解：由三视图知：几何体为三棱锥S-ABC，且三棱锥的一个侧面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．
底面为等腰直角三角形，直角边长为2，如图：
∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点E，设该几何体的外接球的球心为O．
OE⊥底面ABC，
设OE=x，外接球的半径为R，
则${x}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$=1+（2-x）2，
解得x=$\frac{3}{4}$．
∴R2=$\frac{41}{16}$，
∴外接球的表面积S=4π×R2=$\frac{41π}{4}$．
故答案为：$\frac{41π}{4}$．
点评 本题考查了三棱锥的三视图、空间位置关系、外接球的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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（2）若第6名产品推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
参考公式：$\left\{\begin{array}{l}\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline{．y}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}\\ \widehata=\overline y-\widehatb\overline x\end{array}\right.$．
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