给出下列四种说法.说法正确的有①③①函数y=ax与函数y=logaax的定义域相同,②函数f(x)=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$和y=$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$都是既奇又偶的函数,③已知对任意的非零实数x都有$f=2x+1$.则f(2)=-$\frac{1}{3}$,④函数f上都是增函数.则函数f上一定是增� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．给出下列四种说法，说法正确的有①③（请填写序号）
①函数y=a^x（a＞0，且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0，且a≠1）的定义域相同；
②函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$和y=$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$都是既奇又偶的函数；
③已知对任意的非零实数x都有$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=2x+1$，则f（2）=-$\frac{1}{3}$；
④函数f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函数，则函数f（x）在（a，c）上一定是增函数．

分析 ①函数y=a^x的定义域为R，函数y=log_aa^x（a＞0，且a≠1）的定义域为a^x＞0，x∈R；
②函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$的定义域为{-1，1}，y=$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$的定义域为{1}不关于原点对称，
③由$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=2x+1$，得f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=$\frac{2}{x}$+1，联立可得f（x）=$\frac{4}{3x}$$-\frac{2x}{3}$$+\frac{1}{3}$，代入求值即可；
④函数f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函数，只能说明函数的增区间为（a，b]和（b，c）．

解答解：①函数y=a^x的定义域为R，函数y=log_aa^x（a＞0，且a≠1）的定义域为a^x＞0，x∈R，故正确；
②函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$的定义域为{-1，1}，且f（x）=0，是既奇又偶的函数，y=$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$的定义域为{1}不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故错误；
③由$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=2x+1$，得f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=$\frac{2}{x}$+1，联立可得f（x）=$\frac{4}{3x}$$-\frac{2x}{3}$$+\frac{1}{3}$，得则f（2）=-$\frac{1}{3}$，故正确；
④函数f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函数，只能说明函数的增区间为（a，b]和（b，c），但函数f（x）在（a，c）上不一定是增函数，故错误．
故答案为①③．

点评考查了函数定义域的求法，函数奇偶性的判定，抽象函数的求解和单调区间的确定．属于基础题型，应熟练掌握．